最大元、最小元
最大元
术语名称
最大元
英语名称
greatest element
最小元
术语名称
最小元
英语名称
least element
最大元(greatest element)和最小元(least element)指预序集中，对一个子集（或预序集本身），大于等于或小于等于其中所有元素的某个元素。
有时也合称最值元素。
最大元与最小元互为对偶。
区别于极大元、极小元。
定义
对预序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] 及其任意子集 [math]\displaystyle{ S\subseteq P }[/math] ，
若对某元素 [math]\displaystyle{ m \in S }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (\forall s \in S) (s \preceq m) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中的一个最大元(greatest element)；
若对某元素 [math]\displaystyle{ m \in S }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (\forall s \in S) (m \preceq s) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中的一个最小元(least element)。
上述 [math]\displaystyle{ S }[/math] 可以是预序集 [math]\displaystyle{ P }[/math] 本身，此时称元素 [math]\displaystyle{ m }[/math] 是 [math]\displaystyle{ P }[/math] 中的一个最大元或一个最小元。
上有向集中的最大元和下有向集中的最小元若存在则唯一，此时称元素 [math]\displaystyle{ s }[/math] 是有向集 [math]\displaystyle{ P }[/math] 中的最大元(the greatest element)或最小元(the least element)。
性质
基本特征
子集中大于等于所有其他元素的元素是最大元，小于等于所有其他元素的元素是极小元。
最大元和最小元都不一定存在，如果存在也不一定唯一。可以有多个元素互相大于等于（小于等于），并大于等于（小于等于）其他元素。
有向集中，上界性质决定了不存在多个元素互相大于等于（小于等于），此时若存在最大元和最小元，一定唯一。
偏序集中，反对称性决定了不存在多个元素互相大于等于（小于等于），此时若存在最大元则唯一。
有限全序集中，一定存在最大元和最小元。
良序集中总是有最小元。
最大元和最小元在给定子集中，是相对给定子集而言的。
与极值元素的关系：
最大元一定是极大元，但极大元不一定是最大元；最小元一定是极小元，但极小元不一定是最小元。
在全序集中，极大元与最大元等价，极小元与最小元等价。
如果子集有最大元，则这些最大元都是极大元且无其他极大元；同样，如果子集有最小元，则这些最小元都是极小元且无其他极小元。
与上确界、下确界的关系：
最大元若存在则等于上确界，最小元若存在则等于下确界。
上确界和下确界不一定在子集中，但如果在子集中，就是最大元和最小元。
运算性质
若 [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math] ，且 [math]\displaystyle{ A,B }[/math] 中都有最大元，则 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的最大元 ≤ [math]\displaystyle{ B }[/math] 的最大元；反过来若都有最小元，则 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的最小元 ≤ [math]\displaystyle{ A }[/math] 的最小元。
多个集合的并集的最大元是它们各自最大元构成集合中的最大元。
二元关系复合类型
名称
自反、反自反
对称、反对称
传递
其他
相容关系
自反
对称
-
-
预序
自反
-
传递
-
等价关系
自反
对称
传递
-
方向
自反
-
传递
有上/下界
偏序
自反
反对称
传递
-
半格
自反
反对称
传递
有上/下确界
弱序/全序划分
自反
-
传递
完全
全序
自反
反对称
传递
完全
良序
自反
反对称
传递
完全、良基
不对称
反自反
反对称
-
-
拟序/严格偏序
反自反
反对称
传递
-
严格弱序/严格全序划分
反自反
反对称
传递
不可比关系传递
严格全序
反自反
反对称
传递
完全